Τελείες και τρίγωνα

Το Τελείες και τρίγωνα (Dots and Triangles) είναι το Τελείες και Κουτιά σε τριγωνικό πλέγμα. Οι τελείες σχηματίζουν ένα μεγάλο τρίγωνο, και οι γραμμές ανάμεσα σε γειτονικές τελείες, σε τρεις κατευθύνσεις, το χωρίζουν σε μικρά τρίγωνα, τα μισά με την κορυφή προς τα πάνω και τα μισά προς τα κάτω. Κάθε μικρό τρίγωνο είναι ένα κελί.

Οι παίκτες τραβούν εναλλάξ μία γραμμή ανάμεσα σε δύο γειτονικές τελείες. Ο παίκτης που τραβά την τρίτη πλευρά ενός τριγώνου το κερδίζει και τραβά άλλη μία γραμμή. Μια γραμμή μέσα στο ταμπλό συνορεύει με δύο τρίγωνα, οπότε μία γραμμή μπορεί να κλείσει δύο μαζί. Όταν τραβηχτούν όλες οι γραμμές, νικά ο παίκτης με τα περισσότερα τρίγωνα, και ίσο σκορ είναι ισοπαλία.

Επειδή ένα κελί έχει μόνο τρεις πλευρές, ένα κελί με δύο τραβηγμένες πλευρές είναι ήδη έτοιμο να το πάρει κάποιος, και οι αλυσίδες σχηματίζονται και μεγαλώνουν πολύ γρηγορότερα από ό,τι με κουτιά. Το μέγεθος του ταμπλό είναι ο αριθμός μικρών τριγώνων κατά μήκος κάθε πλευράς: το μέγεθος 4 έχει 15 τελείες, 30 γραμμές και 16 τρίγωνα.

Οι περιγραφές του Τελείες και Κουτιά επισημαίνουν από παλιά ότι το παιχνίδι δεν χρειάζεται τετράγωνο πλέγμα και μπορεί να παιχτεί σε τριγωνικό. Dots and Triangles είναι το όνομα που χρησιμοποιείται για αυτή την εκδοχή σε μαθηματικές εργασίες για το παιχνίδι.

Σε μια εργασία του 2015, την Variations on Narrow Dots-and-Boxes and Dots-and-Triangles, οι Adam Jobson, Levi Sledd, Susan White και D. Jacob Wildstrom απέδειξαν μια εικασία των Nowakowski και Ottaway για ένα στενό τριγωνικό ταμπλό: στην κλειστή λωρίδα 1×n ο πρώτος παίκτης κερδίζει όποτε το n δεν είναι 2. Το 2020 οι Jessica Dickson και Rachel Perrier μελέτησαν το Dots-and-Triangles σε τριγωνικό πλέγμα, μαζί με μια παραλλαγή που λέγεται Dots-and-Polygons, και ανέλυσαν και τα δύο με τις στρατηγικές που είχαν αναπτύξει για το Τελείες και Κουτιά οι Elwyn Berlekamp, John Conway, Richard Guy και άλλοι.