Was ist Wythoff-Spiel?
Das Wythoff-Spiel wird mit zwei Haufen gespielt. In Ihrem Zug nehmen Sie entweder beliebig viele Objekte aus einem Haufen, wie bei Nim, oder gleich viele aus beiden Haufen auf einmal. Wer das letzte Objekt nimmt, gewinnt: Dieses Spiel wird immer auf normale Weise gespielt, daher gelten der Misère-Schalter und die Option für die Starthaufen des Standardspiels hier nicht.
Die Haufengrößen kommen aus der Größenoption im Tisch-Setup: 5 und 7 (klein), 9 und 12 (mittel, der Standard) oder 14 und 20 (groß). Ein bekanntes Bild für das Spiel ist eine Schachdame, die nur nach links, nach unten oder diagonal nach links unten ziehen darf: Die beiden Haufen sind ihre Abstände von den beiden Brettkanten, und wer sie in die Ecke zieht, gewinnt.
Regeländerungen
| Regel | Standard-Nim | Wythoff-Spiel |
|---|---|---|
| Haufen | Standard-NimMehrere Haufen: standardmäßig 1, 3, 5 und 7 Objekte oder eine andere im Tisch-Setup gewählte Aufstellung. | Wythoff-SpielZwei Haufen: 5 und 7, 9 und 12 (Standard) oder 14 und 20, als Größe im Tisch-Setup gewählt. |
| Züge | Standard-NimEin oder mehrere Objekte aus einem Haufen nehmen. | Wythoff-SpielEntweder ein oder mehrere Objekte aus einem Haufen nehmen oder gleich viele aus beiden Haufen. |
| Ziel | Standard-NimStandardmäßig Misère: Wer das letzte Objekt nimmt, verliert. Im Setup lässt sich auf normales Spiel umschalten, bei dem das Nehmen des letzten Objekts gewinnt. | Wythoff-SpielImmer normales Spiel: Wer das letzte Objekt nimmt, gewinnt. |
| Gewinnstrategie | Standard-NimHinterlassen Sie die Haufen mit einer Nim-Summe (dem bitweisen XOR ihrer Größen) von null, mit einer Besonderheit im Misère-Endspiel. | Wythoff-SpielDie Stellungen, die für den Spieler am Zug verlieren, sind die Paare 1 und 2, 3 und 5, 4 und 7, 6 und 10, 8 und 13 und so weiter: Das k-te Paar besteht aus den ganzzahligen Anteilen von k × φ und k × φ², wobei φ der Goldene Schnitt ist. Keine Startstellung hier ist ein solches Paar, also kann der erste Spieler gewinnen. |
Geschichte
Der niederländische Mathematiker Willem Abraham Wythoff veröffentlichte das Spiel und seine Lösung 1907 im Artikel „A modification of the game of nim“ in Nieuw Archief voor Wiskunde. Er zeigte, dass die Verluststellungen dem Goldenen Schnitt folgen. Die kleineren und die größeren Zahlen der Verlustpaare bilden zwei Beatty-Folgen, die zusammen jede positive ganze Zahl genau einmal enthalten, weshalb das Spiel in Texten zur Zahlentheorie ebenso auftaucht wie in solchen über Spiele.
Martin Gardner schrieb im März 1977 in seiner Zeitschriftenkolumne Mathematical Games über das Spiel und sagte dort, es werde in China unter dem Namen jiǎn shízǐ, „Steine auflesen“, gespielt. Wir kennen keine andere Quelle für diese Behauptung.