Παιχνίδι του Wythoff: τι είναι;
Το παιχνίδι του Wythoff παίζεται με δύο σωρούς. Στη σειρά σας είτε παίρνετε όσα αντικείμενα θέλετε από έναν σωρό, όπως στο Νιμ, είτε παίρνετε τον ίδιο αριθμό και από τους δύο σωρούς μαζί. Κερδίζει ο παίκτης που παίρνει το τελευταίο αντικείμενο: αυτό το παιχνίδι παίζεται πάντα με τον κανονικό τρόπο, οπότε ο διακόπτης μιζέρ και η επιλογή αρχικών σωρών του τυπικού παιχνιδιού δεν ισχύουν.
Τα μεγέθη των σωρών προέρχονται από την επιλογή μεγέθους στη ρύθμιση του τραπεζιού: 5 και 7 (μικρό), 9 και 12 (μεσαίο, η προεπιλογή) ή 14 και 20 (μεγάλο). Ένας γνωστός τρόπος να φανταστείτε το παιχνίδι είναι μια βασίλισσα του σκακιού που μπορεί να κινηθεί μόνο αριστερά, κάτω ή διαγώνια κάτω αριστερά: οι δύο σωροί είναι οι αποστάσεις της από τις δύο άκρες της σκακιέρας, και όποιος τη φέρει στη γωνία κερδίζει.
Αλλαγές κανόνων
| Κανόνας | Νιμ: τυπικοί κανόνες | Παιχνίδι του Wythoff |
|---|---|---|
| Σωροί | Νιμ: τυπικοί κανόνεςΑρκετοί σωροί: 1, 3, 5 και 7 αντικείμενα από προεπιλογή, ή άλλο σύνολο από τη ρύθμιση του τραπεζιού. | Παιχνίδι του WythoffΔύο σωροί: 5 και 7, 9 και 12 (προεπιλογή) ή 14 και 20, επιλογή μεγέθους στη ρύθμιση του τραπεζιού. |
| Κινήσεις | Νιμ: τυπικοί κανόνεςΠάρτε ένα ή περισσότερα αντικείμενα από έναν σωρό. | Παιχνίδι του WythoffΕίτε πάρτε ένα ή περισσότερα αντικείμενα από έναν σωρό, είτε τον ίδιο αριθμό και από τους δύο σωρούς. |
| Στόχος | Νιμ: τυπικοί κανόνεςΜιζέρ από προεπιλογή: όποιος πάρει το τελευταίο αντικείμενο χάνει. Η ρύθμιση μπορεί να αλλάξει σε κανονικό παιχνίδι, όπου η λήψη του τελευταίου αντικειμένου κερδίζει. | Παιχνίδι του WythoffΠάντα κανονικό παιχνίδι: όποιος πάρει το τελευταίο αντικείμενο κερδίζει. |
| Νικηφόρο παιχνίδι | Νιμ: τυπικοί κανόνεςΑφήστε τους σωρούς με νιμ-άθροισμα (το bitwise XOR των μεγεθών τους) μηδέν, με μια ιδιαιτερότητα στο φινάλε του μιζέρ. | Παιχνίδι του WythoffΟι θέσεις που χάνουν για τον παίκτη που παίζει είναι τα ζεύγη 1 και 2, 3 και 5, 4 και 7, 6 και 10, 8 και 13 και ούτω καθεξής: το k-οστό ζεύγος είναι τα ακέραια μέρη των k × φ και k × φ², όπου φ η χρυσή τομή. Καμία αρχική θέση εδώ δεν είναι τέτοιο ζεύγος, οπότε ο πρώτος παίκτης μπορεί να κερδίσει. |
Ιστορία
Ο Ολλανδός μαθηματικός Willem Abraham Wythoff δημοσίευσε το παιχνίδι και τη λύση του το 1907, στο άρθρο «A modification of the game of nim» στο Nieuw Archief voor Wiskunde. Έδειξε ότι οι χαμένες θέσεις ακολουθούν τη χρυσή τομή. Οι μικρότεροι και οι μεγαλύτεροι αριθμοί των χαμένων ζευγών σχηματίζουν δύο ακολουθίες Beatty που μαζί περιέχουν κάθε θετικό ακέραιο ακριβώς μία φορά, γι' αυτό το παιχνίδι εμφανίζεται σε κείμενα θεωρίας αριθμών όσο και σε κείμενα για παιχνίδια.
Ο Martin Gardner έγραψε για το παιχνίδι στη στήλη του Mathematical Games σε περιοδικό τον Μάρτιο του 1977, και ανέφερε εκεί ότι παιζόταν στην Κίνα με το όνομα jiǎn shízǐ, «μάζεμα πετραδιών». Δεν γνωρίζουμε άλλη πηγή για αυτόν τον ισχυρισμό.