Che cos'è Gioco di Wythoff?
Il gioco di Wythoff si gioca con due mucchi. Al tuo turno prendi un numero qualsiasi di oggetti da un mucchio, come nel Nim, oppure lo stesso numero da entrambi i mucchi insieme. Vince chi prende l'ultimo oggetto: questo gioco si gioca sempre in modo normale, quindi l'opzione misère e quella dei mucchi iniziali del gioco standard non si applicano.
Le dimensioni dei mucchi vengono dall'opzione dimensione nelle impostazioni del tavolo: 5 e 7 (piccola), 9 e 12 (media, il default) o 14 e 20 (grande). Un modo noto di immaginare il gioco è una regina degli scacchi che può muovere solo a sinistra, in giù o in diagonale in giù a sinistra: i due mucchi sono le sue distanze dai due bordi della scacchiera, e vince chi la porta nell'angolo.
Regole che cambiano
| Regola | Nim standard | Gioco di Wythoff |
|---|---|---|
| Mucchi | Nim standardDiversi mucchi: 1, 3, 5 e 7 oggetti di default, o un altro insieme scelto nelle impostazioni del tavolo. | Gioco di WythoffDue mucchi: 5 e 7, 9 e 12 (default) o 14 e 20, scelti come dimensione nelle impostazioni del tavolo. |
| Mosse | Nim standardPrendi uno o più oggetti da un mucchio. | Gioco di WythoffPrendi uno o più oggetti da un mucchio, oppure lo stesso numero da entrambi i mucchi. |
| Obiettivo | Nim standardDi default si gioca misère: chi prende l'ultimo oggetto perde. Le impostazioni possono passare al gioco normale, in cui prendere l'ultimo oggetto fa vincere. | Gioco di WythoffSempre gioco normale: chi prende l'ultimo oggetto vince. |
| Strategia vincente | Nim standardLascia i mucchi con somma nim (lo XOR bit a bit delle loro dimensioni) pari a zero, con una variante nel finale misère. | Gioco di WythoffLe posizioni perdenti per chi deve muovere sono le coppie 1 e 2, 3 e 5, 4 e 7, 6 e 10, 8 e 13 e così via: la k-esima coppia è la parte intera di k × φ e di k × φ², dove φ è la sezione aurea. Nessuna posizione iniziale qui è una di queste coppie, quindi il primo giocatore può vincere. |
Storia
Il matematico olandese Willem Abraham Wythoff pubblicò il gioco e la sua soluzione nel 1907, nell'articolo “A modification of the game of nim” su Nieuw Archief voor Wiskunde. Mostrò che le posizioni perdenti seguono la sezione aurea. I numeri minori e maggiori delle coppie perdenti formano due successioni di Beatty che insieme elencano ogni numero intero positivo esattamente una volta, ed è per questo che il gioco compare negli scritti di teoria dei numeri oltre che in quelli sui giochi.
Martin Gardner scrisse del gioco nella sua rubrica di rivista Mathematical Games nel marzo 1977, e vi disse che in Cina si giocava con il nome jiǎn shízǐ, “raccogliere pietre”. Non conosciamo altre fonti per questa affermazione.