O que é Jogo de Wythoff?
O jogo de Wythoff é jogado com duas pilhas. Na sua vez, você tira qualquer quantidade de objetos de uma pilha, como no Nim, ou tira a mesma quantidade das duas pilhas ao mesmo tempo. Quem tirar o último objeto vence: este jogo é sempre jogado da forma normal, então a chave misère e a opção de pilhas iniciais do jogo padrão não se aplicam.
Os tamanhos das pilhas vêm da opção de tamanho na configuração da mesa: 5 e 7 (pequeno), 9 e 12 (médio, o padrão) ou 14 e 20 (grande). Uma forma conhecida de imaginar o jogo é uma dama de xadrez que só pode se mover para a esquerda, para baixo ou na diagonal para baixo e para a esquerda: as duas pilhas são as distâncias dela até as duas bordas do tabuleiro, e quem a levar ao canto vence.
Mudanças nas regras
| Regra | Nim padrão | Jogo de Wythoff |
|---|---|---|
| Pilhas | Nim padrãoVárias pilhas: 1, 3, 5 e 7 objetos por padrão, ou outro conjunto escolhido na configuração da mesa. | Jogo de WythoffDuas pilhas: 5 e 7, 9 e 12 (padrão) ou 14 e 20, escolhidas como tamanho na configuração da mesa. |
| Jogadas | Nim padrãoTire um ou mais objetos de uma pilha. | Jogo de WythoffTire um ou mais objetos de uma pilha, ou tire a mesma quantidade das duas pilhas. |
| Objetivo | Nim padrãoMisère por padrão: quem tira o último objeto perde. A configuração pode mudar para o jogo normal, em que tirar o último objeto vence. | Jogo de WythoffSempre jogo normal: quem tira o último objeto vence. |
| Como jogar para vencer | Nim padrãoDeixe as pilhas com soma nim (o XOR bit a bit dos tamanhos) igual a zero, com um detalhe no final misère. | Jogo de WythoffAs posições perdedoras para quem joga são os pares 1 e 2, 3 e 5, 4 e 7, 6 e 10, 8 e 13 e assim por diante: o k-ésimo par são as partes inteiras de k × φ e k × φ², em que φ é a razão áurea. Nenhuma posição inicial aqui é um desses pares, então o primeiro jogador pode vencer. |
História
O matemático holandês Willem Abraham Wythoff publicou o jogo e sua solução em 1907, no artigo “A modification of the game of nim”, na Nieuw Archief voor Wiskunde. Ele mostrou que as posições perdedoras seguem a razão áurea. Os números menores e maiores dos pares perdedores formam duas sequências de Beatty que, juntas, listam cada número inteiro positivo exatamente uma vez, e por isso o jogo aparece em textos de teoria dos números e não só de jogos.
Martin Gardner escreveu sobre o jogo em sua coluna de revista Mathematical Games em março de 1977, e disse ali que ele era jogado na China com o nome jiǎn shízǐ, “apanhar pedras”. Não conhecemos outra fonte para essa afirmação.