Hvad er Subtraktionsspil?
Subtraktionsspillet er Nim med en grænse for hvert træk. Du tager stadig genstande fra én bunke efter eget valg, men mindst én og højst k, hvor k er 2, 3, 4 eller 5 og vælges i bordets opsætning (3 som standard). Du må kun tage en hel bunke, når den rummer k genstande eller færre.
Alt andet er som i standardspillet: startbunkerne kommer fra den samme indstilling (1, 3, 5 og 7 som standard), og misère-kontakten afgør, om det taber (standard her) eller vinder at tage den sidste genstand. Loftet ændrer spillets aritmetik. En stor bunke kan ikke længere tømmes i ét træk, så den kan ikke bruges til at rette stillingen op i ét hug, og det, der betyder noget ved hver bunke, er dens størrelse divideret med k + 1: resten.
Regelændringer
| Regel | Standard Nim | Subtraktionsspil |
|---|---|---|
| Træk | Standard NimTag én eller flere genstande fra én bunke, så mange du vil, op til hele bunken. | SubtraktionsspilTag mindst 1 og højst k genstande fra én bunke; k er 2, 3, 4 eller 5, valgt i bordets opsætning (3 som standard). |
| Bunker | Standard NimFlere bunker: 1, 3, 5 og 7 genstande som standard eller et andet sæt valgt i bordets opsætning. | SubtraktionsspilDe samme bunker, valgt med den samme indstilling. |
| Mål | Standard NimMisère som standard: den, der tager den sidste genstand, taber. Opsætningen kan skifte til normalt spil, hvor det vinder at tage den sidste genstand. | SubtraktionsspilDet samme, med den samme misère-kontakt. |
| Vindende spil | Standard NimNormalt spil: efterlad bunkerne med en nim-sum (bitvis XOR af deres størrelser) på nul. Misère: det samme, indtil der kun ville være bunker med én genstand tilbage; efterlad så et ulige antal af dem. | SubtraktionsspilNormalt spil: hver bunke tæller som resten af sin størrelse divideret med k + 1, og du efterlader disse rester med en nim-sum på nul; en enkelt bunke er tabt for spilleren i trækket, netop når dens størrelse er et multiplum af k + 1. Misère: en enkelt bunke er tabt for spilleren i trækket, netop når dens størrelse er én mere end et multiplum af k + 1. |
Historie
Tællespil med et loft over hvert træk er gamle. Claude-Gaspard Bachet de Méziriacs Problèmes plaisants et délectables, en samling matematiske fornøjelser, der første gang udkom i Paris i 1612, beskriver et spil, hvor to spillere skiftes til at lægge et tal fra 1 til 10 til en løbende sum, og den første, der når 100, vinder. Den vindende plan er at nå summerne 12, 23, 34 og så videre op til 89 i trin på 11: den samme aritmetik som en enkelt bunke på 100, hvor hvert træk tager 1 til 10.
Nim selv fik sit navn og sin fulde teori af Charles L. Bouton i 1901. Roland Sprague (1935) og Patrick Grundy (1939) viste, at ethvert spil af denne art, subtraktionsspillet inklusive, opfører sig som en Nim-bunke af en bestemt størrelse, og det er sådan, versionen med flere bunker løses. Subtraktionsspil er et standardeksempel i teorien om kombinatoriske spil, for eksempel i Winning Ways for your Mathematical Plays af Elwyn Berlekamp, John Conway og Richard Guy.