Hvad er Wythoffs spil?
Wythoffs spil spilles med to bunker. I din tur tager du enten et vilkårligt antal genstande fra én bunke, som i Nim, eller lige mange fra begge bunker på én gang. Den spiller, der tager den sidste genstand, vinder: dette spil spilles altid den normale vej rundt, så misère-kontakten og indstillingen for startbunker fra standardspillet gælder ikke.
Bunkernes størrelser kommer fra størrelsesindstillingen i bordets opsætning: 5 og 7 (lille), 9 og 12 (mellem, standard) eller 14 og 20 (stor). En velkendt måde at forestille sig spillet på er en skakdronning, der kun må flytte til venstre, nedad eller diagonalt ned mod venstre: de to bunker er hendes afstand til brættets to kanter, og den, der flytter hende ind i hjørnet, vinder.
Regelændringer
| Regel | Standard Nim | Wythoffs spil |
|---|---|---|
| Bunker | Standard NimFlere bunker: 1, 3, 5 og 7 genstande som standard eller et andet sæt valgt i bordets opsætning. | Wythoffs spilTo bunker: 5 og 7, 9 og 12 (standard) eller 14 og 20, valgt som størrelse i bordets opsætning. |
| Træk | Standard NimTag én eller flere genstande fra én bunke. | Wythoffs spilTag enten én eller flere genstande fra én bunke, eller tag lige mange fra begge bunker. |
| Mål | Standard NimMisère som standard: den, der tager den sidste genstand, taber. Opsætningen kan skifte til normalt spil, hvor det vinder at tage den sidste genstand. | Wythoffs spilAltid normalt spil: den, der tager den sidste genstand, vinder. |
| Vindende spil | Standard NimEfterlad bunkerne med en nim-sum (bitvis XOR af deres størrelser) på nul, med et twist i misère-slutspillet. | Wythoffs spilDe stillinger, der taber for spilleren i trækket, er parrene 1 og 2, 3 og 5, 4 og 7, 6 og 10, 8 og 13 og så videre: det k'te par er heltalsdelene af k × φ og k × φ², hvor φ er det gyldne snit. Ingen startstilling her er sådan et par, så den første spiller kan vinde. |
Historie
Den hollandske matematiker Willem Abraham Wythoff offentliggjorde spillet og dets løsning i 1907 i artiklen »A modification of the game of nim« i Nieuw Archief voor Wiskunde. Han viste, at de tabende stillinger følger det gyldne snit. De mindre og de større tal i de tabende par danner to Beatty-følger, som tilsammen rummer hvert positivt heltal præcis én gang, og derfor dukker spillet op i tekster om talteori lige så vel som om spil.
Martin Gardner skrev om spillet i sin tidsskriftsklumme Mathematical Games i marts 1977 og sagde der, at det blev spillet i Kina under navnet jiǎn shízǐ, »at samle sten«. Vi kender ingen anden kilde til den påstand.