¿Qué es Juego de sustracción?
El juego de sustracción es Nim con un límite en cada jugada. Sigues quitando objetos de la pila que elijas, pero como mínimo uno y como máximo k, donde k es 2, 3, 4 o 5, elegido en la configuración de la mesa (3 por defecto). Solo puedes llevarte una pila entera cuando tiene k objetos o menos.
Todo lo demás es como en el juego clásico: las pilas iniciales salen de la misma opción de configuración (1, 3, 5 y 7 por defecto), y la opción misère decide si llevarse el último objeto hace perder (lo predeterminado aquí) o ganar. El tope cambia la aritmética del juego. Una pila grande ya no se puede vaciar en una jugada, así que no sirve para arreglar la posición de un solo golpe, y lo que importa de cada pila es su tamaño dividido entre k + 1: el resto.
Cambios en las reglas
| Regla | Nim estándar | Juego de sustracción |
|---|---|---|
| Jugadas | Nim estándarQuita uno o más objetos de una pila, tantos como quieras, hasta la pila entera. | Juego de sustracciónQuita como mínimo 1 y como máximo k objetos de una pila; k es 2, 3, 4 o 5, elegido en la configuración de la mesa (3 por defecto). |
| Pilas | Nim estándarVarias pilas: 1, 3, 5 y 7 objetos por defecto, u otro conjunto elegido en la configuración de la mesa. | Juego de sustracciónLas mismas pilas, elegidas con la misma opción. |
| Objetivo | Nim estándarJuego misère por defecto: quien se lleva el último objeto pierde. La configuración permite pasar al juego normal, donde llevarse el último objeto gana. | Juego de sustracciónIgual, con la misma opción misère. |
| Cómo ganar | Nim estándarJuego normal: deja las pilas con una suma nim (el XOR bit a bit de sus tamaños) de cero. Juego misère: igual, hasta que solo fueran a quedar pilas de un objeto; entonces deja un número impar de ellas. | Juego de sustracciónJuego normal: cada pila cuenta como el resto de dividir su tamaño entre k + 1, y dejas esos restos con una suma nim de cero; una sola pila es perdedora para el jugador al que le toca exactamente cuando su tamaño es múltiplo de k + 1. Juego misère: una sola pila es perdedora para el jugador al que le toca exactamente cuando su tamaño es uno más que un múltiplo de k + 1. |
Historia
Los juegos de contar con un tope en cada jugada son antiguos. Problèmes plaisants et délectables de Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, una colección de recreaciones matemáticas publicada por primera vez en París en 1612, describe un juego en el que dos jugadores suman por turnos un número del 1 al 10 a un total acumulado, y gana el primero que llega a 100. El plan ganador es alcanzar los totales 12, 23, 34 y así hasta 89, en saltos de 11: la misma aritmética que una sola pila de 100 de la que cada jugada quita de 1 a 10.
El propio Nim recibió su nombre y su teoría completa de Charles L. Bouton en 1901. Los trabajos de Roland Sprague (1935) y Patrick Grundy (1939) demostraron que todo juego de este tipo, incluido el juego de sustracción, se comporta como una pila de Nim de cierto tamaño, y así se resuelve la versión con varias pilas. Los juegos de sustracción son un ejemplo clásico de la teoría de juegos combinatorios, por ejemplo en Winning Ways for your Mathematical Plays de Elwyn Berlekamp, John Conway y Richard Guy.