¿Qué es Juego de Wythoff?
El juego de Wythoff se juega con dos pilas. En tu turno, o bien quitas cualquier número de objetos de una pila, como en el Nim, o bien quitas el mismo número de las dos pilas a la vez. Gana el jugador que se lleva el último objeto: este juego siempre se juega de la forma normal, así que la opción misère y la opción de pilas iniciales del juego clásico no se aplican.
Los tamaños de las pilas salen de la opción de tamaño de la configuración de la mesa: 5 y 7 (pequeño), 9 y 12 (mediano, el predeterminado) o 14 y 20 (grande). Una forma conocida de imaginar el juego es una dama de ajedrez que solo puede moverse a la izquierda, hacia abajo o en diagonal hacia abajo y a la izquierda: las dos pilas son sus distancias a los dos bordes del tablero, y gana quien la lleva a la esquina.
Cambios en las reglas
| Regla | Nim estándar | Juego de Wythoff |
|---|---|---|
| Pilas | Nim estándarVarias pilas: 1, 3, 5 y 7 objetos por defecto, u otro conjunto elegido en la configuración de la mesa. | Juego de WythoffDos pilas: 5 y 7, 9 y 12 (predeterminado) o 14 y 20, elegidas como tamaño en la configuración de la mesa. |
| Jugadas | Nim estándarQuita uno o más objetos de una pila. | Juego de WythoffO quitas uno o más objetos de una pila, o quitas el mismo número de las dos pilas. |
| Objetivo | Nim estándarJuego misère por defecto: quien se lleva el último objeto pierde. La configuración permite pasar al juego normal, donde llevarse el último objeto gana. | Juego de WythoffSiempre juego normal: quien se lleva el último objeto gana. |
| Cómo ganar | Nim estándarDeja las pilas con una suma nim (el XOR bit a bit de sus tamaños) de cero, con un matiz en el final misère. | Juego de WythoffLas posiciones perdedoras para el jugador al que le toca son los pares 1 y 2, 3 y 5, 4 y 7, 6 y 10, 8 y 13, etcétera: el k-ésimo par son las partes enteras de k × φ y k × φ², donde φ es la proporción áurea. Ninguna posición inicial de aquí es uno de esos pares, así que el primer jugador puede ganar. |
Historia
El matemático neerlandés Willem Abraham Wythoff publicó el juego y su solución en 1907, en el artículo «A modification of the game of nim» en Nieuw Archief voor Wiskunde. Demostró que las posiciones perdedoras siguen la proporción áurea. Los números menores y mayores de los pares perdedores forman dos sucesiones de Beatty que entre las dos contienen cada número entero positivo exactamente una vez, y por eso el juego aparece en textos de teoría de números además de en los de juegos.
Martin Gardner escribió sobre el juego en su columna de revista Mathematical Games en marzo de 1977, y afirmó allí que en China se jugaba con el nombre de jiǎn shízǐ, «coger piedras». No conocemos ninguna otra fuente de esa afirmación.