フィボナッチ・ニムのルール - ニムのバリアント

フィボナッチ・ニムとは？

フィボナッチ・ニムは1つの山で遊びます。先手は山全体以外なら何個でも取れます。それ以降は、各手で1個以上、相手が直前に取った数の2倍以下を取ります。最後の1個を取った人が勝ちです。このゲームは常に通常ルールで遊ぶので、通常のゲームのミゼールの切り替えと初期の山のオプションは使いません。

山の数は10（小）、15（中、既定）、20（大）で、テーブル設定のサイズで選びます。上限はプレイに応じて伸び縮みします。たくさん取れば相手はさらに多く取れるようになり、少しだけ取れば相手を短い手綱につないでおけるので、このゲームは山そのものと同じくらい、次の上限の大きさをめぐる争いでもあります。

フィボナッチ・ニムと標準のニムの違い
ルール	標準のニム	フィボナッチ・ニム
山	標準のニム複数の山：既定は1、3、5、7個。テーブル設定でほかの組み合わせも選べる。	フィボナッチ・ニム10、15（既定）、20個の山が1つ。テーブル設定のサイズで選ぶ。
最初の手	標準のニム1つの山から、山全体も含め好きな数を取る。	フィボナッチ・ニム山全体以外なら好きな数を取る。
以降の手	標準のニム毎ターン、1つの山から好きな数を取る。	フィボナッチ・ニム1個以上、相手が直前に取った数の2倍以下で、残っている数を超えない分を取る。
目的	標準のニム既定はミゼール：最後の1個を取った人が負け。設定で、最後の1個を取ると勝ちになる通常ルールに切り替えられる。	フィボナッチ・ニム常に通常ルール：最後の1個を取った人が勝ち。
必勝法	標準のニム山のニム和（大きさのビットごとの XOR）を0にして渡す。ミゼールの終盤には工夫がいる。	フィボナッチ・ニム山の数を、数列で隣り合わないフィボナッチ数の和で表し、上限が許せばその中で最小の数を取る。最善を尽くしても先手が負けるのは、最初の山がフィボナッチ数のときに限る。10、15、20はそうではないので、先手が勝てる。

マイケル・J・ウィニハンは1963年に The Fibonacci Quarterly でフィボナッチ・ニムを紹介し、このゲームをオレゴン州立大学の数学者ロバート・E・ガスケルの考案としました。名前は、1、2、3、5、8、13、21…というフィボナッチ数が解で果たす役割に由来します。

必勝法は、今日ツェッケンドルフの定理と呼ばれるものに基づいています。すべての正の整数は、連続しないフィボナッチ数の和としてただ1通りに表せる、という定理です。この定理はエドゥアール・ツェッケンドルフにちなんで名づけられていますが、ヘリット・レッケルケルカーがすでに1952年に発表していました。