減算ゲームとは？
減算ゲームは、1手ごとに上限のあるニムです。好きな山から物を取るのは同じですが、取るのは1個以上 k 個以下で、k はテーブル設定で選ぶ2、3、4、5のいずれか（既定は3）です。山をまるごと取れるのは、その山が k 個以下のときだけです。
それ以外は通常のゲームと同じです。初期の山は同じ設定オプションから決まり（既定は1、3、5、7）、ミゼールの切り替えで最後の1個を取ると負け（ここでの既定）か勝ちかが決まります。上限はゲームの算術を変えます。大きな山を1手で空にできなくなるので、それを使って一気に局面を整えることはできず、各山で大切なのはその大きさを k + 1 で割った余りになります。
ルールの違い
| ルール | 標準のニム | 減算ゲーム |
|---|---|---|
| 手 | 標準のニム1つの山から1個以上、山全体まで好きなだけ取る。 | 減算ゲーム1つの山から1個以上 k 個以下を取る。k は2、3、4、5のいずれかで、テーブル設定で選ぶ（既定は3）。 |
| 山 | 標準のニム複数の山：既定は1、3、5、7個。テーブル設定でほかの組み合わせも選べる。 | 減算ゲーム同じ山を、同じオプションで選ぶ。 |
| 目的 | 標準のニム既定はミゼール：最後の1個を取った人が負け。設定で、最後の1個を取ると勝ちになる通常ルールに切り替えられる。 | 減算ゲーム同じ。ミゼールの切り替えも同じ。 |
| 必勝法 | 標準のニム通常ルール：山のニム和（大きさのビットごとの XOR）を0にして渡す。ミゼール：同じだが、1個の山だけが残る局面になるときは、その数を奇数にして渡す。 | 減算ゲーム通常ルール：各山を、その大きさを k + 1 で割った余りとみなし、余りのニム和を0にして渡す。山が1つなら、その大きさが k + 1 の倍数のときちょうど手番側の負け。ミゼール：山が1つなら、その大きさが k + 1 の倍数より1多いときちょうど手番側の負け。 |
歴史
1手に上限のある数のゲームは古くからあります。1612年にパリで初版が出た数学パズル集、クロード＝ガスパール・バシェ・ド・メジリアクの『Problèmes plaisants et délectables』には、2人が交互に1から10の数を合計に足していき、先に100に達した方が勝つゲームが載っています。必勝法は合計を12、23、34と11ずつ進めて89まで到達することで、これは1手で1から10個を取る100個の山1つと同じ算術です。
ニムそのものは、1901年にチャールズ・L・バウトンによって名前と完全な理論を与えられました。ローランド・スプラーグ（1935年）とパトリック・グランディ（1939年）の研究は、減算ゲームを含むこの種のゲームはすべて、ある大きさのニムの山のようにふるまうことを示し、それによって複数の山がある版が解かれます。減算ゲームは組合せゲーム理論の定番の例で、たとえばエルウィン・バーレカンプ、ジョン・コンウェイ、リチャード・ガイの『Winning Ways for your Mathematical Plays』に登場します。