Wat is Aftrekspel?
Het aftrekspel is Nim met een grens per zet. Je neemt nog steeds fiches uit één stapel naar keuze, maar minstens één en hoogstens k, waarbij k 2, 3, 4 of 5 is, gekozen in de tafelinstellingen (standaard 3). Een hele stapel mag je alleen nemen als die k fiches of minder bevat.
Al het andere is zoals in het standaardspel: de beginstapels komen uit dezelfde instelling (standaard 1, 3, 5 en 7), en de misère-schakelaar bepaalt of het nemen van het laatste fiche verliest (hier de standaard) of wint. De grens verandert de rekenkunde van het spel. Een grote stapel kan niet meer in één zet leeggemaakt worden, dus je kunt er de stelling niet in één klap mee rechtzetten, en wat telt bij elke stapel is de rest bij deling van zijn grootte door k + 1.
Regelwijzigingen
| Regel | Gewoon Nim | Aftrekspel |
|---|---|---|
| Zetten | Gewoon NimNeem één of meer fiches uit één stapel, zoveel je wilt, tot de hele stapel. | AftrekspelNeem minstens 1 en hoogstens k fiches uit één stapel; k is 2, 3, 4 of 5, gekozen in de tafelinstellingen (standaard 3). |
| Stapels | Gewoon NimMeerdere stapels: standaard 1, 3, 5 en 7 fiches, of een andere set gekozen in de tafelinstellingen. | AftrekspelDezelfde stapels, gekozen met dezelfde instelling. |
| Doel | Gewoon NimStandaard misère: wie het laatste fiche neemt, verliest. De instellingen kunnen overschakelen naar normaal spel, waarin het laatste fiche nemen wint. | AftrekspelHetzelfde, met dezelfde misère-schakelaar. |
| Winnend spel | Gewoon NimNormaal spel: laat de stapels achter met een nim-som (de bitsgewijze XOR van hun groottes) van nul. Misère: hetzelfde, tot er alleen stapels van één fiche over zouden blijven; laat er dan een oneven aantal van over. | AftrekspelNormaal spel: elke stapel telt als de rest van zijn grootte bij deling door k + 1, en je laat die resten achter met een nim-som van nul; een enkele stapel is verloren voor de speler aan zet precies als zijn grootte een veelvoud van k + 1 is. Misère: een enkele stapel is verloren voor de speler aan zet precies als zijn grootte één meer is dan een veelvoud van k + 1. |
Geschiedenis
Telspellen met een maximum per zet zijn oud. Problèmes plaisants et délectables van Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, een verzameling wiskundige ontspanningen die in 1612 voor het eerst in Parijs verscheen, beschrijft een spel waarin twee spelers om beurten een getal van 1 tot 10 bij een lopend totaal optellen, en wie als eerste 100 bereikt, wint. Het winnende plan is de totalen 12, 23, 34 enzovoort tot 89 te bereiken, in stappen van 11: dezelfde rekenkunde als een enkele stapel van 100 waaruit elke zet 1 tot 10 neemt.
Nim zelf kreeg zijn naam en volledige theorie van Charles L. Bouton in 1901. Het werk van Roland Sprague (1935) en Patrick Grundy (1939) liet zien dat elk spel van deze soort, het aftrekspel inbegrepen, zich gedraagt als een Nim-stapel van een bepaalde grootte, en zo wordt de versie met meerdere stapels opgelost. Aftrekspellen zijn een standaardvoorbeeld in de theorie van combinatorische spellen, bijvoorbeeld in Winning Ways for your Mathematical Plays van Elwyn Berlekamp, John Conway en Richard Guy.