Wat is Spel van Wythoff?
Het spel van Wythoff wordt gespeeld met twee stapels. In je beurt neem je ofwel een willekeurig aantal fiches uit één stapel, zoals in Nim, ofwel evenveel uit beide stapels tegelijk. De speler die het laatste fiche neemt, wint: dit spel wordt altijd op de normale manier gespeeld, dus de misère-schakelaar en de beginstapels van het standaardspel gelden niet.
De stapelgroottes komen uit de grootte-instelling in de tafelinstellingen: 5 en 7 (klein), 9 en 12 (middel, de standaard) of 14 en 20 (groot). Een bekende manier om het spel voor te stellen is een schaakdame die alleen naar links, omlaag of diagonaal omlaag naar links mag: de twee stapels zijn haar afstanden tot de twee randen van het bord, en wie haar in de hoek zet, wint.
Regelwijzigingen
| Regel | Gewoon Nim | Spel van Wythoff |
|---|---|---|
| Stapels | Gewoon NimMeerdere stapels: standaard 1, 3, 5 en 7 fiches, of een andere set gekozen in de tafelinstellingen. | Spel van WythoffTwee stapels: 5 en 7, 9 en 12 (standaard) of 14 en 20, gekozen als grootte in de tafelinstellingen. |
| Zetten | Gewoon NimNeem één of meer fiches uit één stapel. | Spel van WythoffNeem één of meer fiches uit één stapel, of neem evenveel uit beide stapels. |
| Doel | Gewoon NimStandaard misère: wie het laatste fiche neemt, verliest. De instellingen kunnen overschakelen naar normaal spel, waarin het laatste fiche nemen wint. | Spel van WythoffAltijd normaal spel: wie het laatste fiche neemt, wint. |
| Winnend spel | Gewoon NimLaat de stapels achter met een nim-som (de bitsgewijze XOR van hun groottes) van nul, met een kink in het misère-eindspel. | Spel van WythoffDe stellingen die verliezen voor de speler aan zet zijn de paren 1 en 2, 3 en 5, 4 en 7, 6 en 10, 8 en 13 enzovoort: het k-de paar bestaat uit de gehele delen van k × φ en k × φ², waarbij φ de gulden snede is. Geen enkele beginstand hier is zo'n paar, dus de eerste speler kan winnen. |
Geschiedenis
De Nederlandse wiskundige Willem Abraham Wythoff publiceerde het spel en zijn oplossing in 1907, in het artikel „A modification of the game of nim” in het Nieuw Archief voor Wiskunde. Hij liet zien dat de verliesstellingen de gulden snede volgen. De kleinere en grotere getallen van de verliesparen vormen twee Beatty-rijen die samen elk positief geheel getal precies één keer bevatten, en daarom duikt het spel op in teksten over getaltheorie en niet alleen over spellen.
Martin Gardner schreef over het spel in zijn tijdschriftrubriek Mathematical Games in maart 1977, en zei daar dat het in China gespeeld werd onder de naam jiǎn shízǐ, „stenen rapen”. We kennen geen andere bron voor die bewering.