Wythoff oyunu nedir?
Wythoff oyunu iki yığınla oynanır. Sıranız geldiğinde ya Nim'deki gibi bir yığından istediğiniz sayıda nesne alırsınız ya da iki yığından aynı anda aynı sayıda alırsınız. Son nesneyi alan oyuncu kazanır: bu oyun her zaman normal biçimde oynanır, bu yüzden standart oyunun misère anahtarı ve başlangıç yığınları seçeneği uygulanmaz.
Yığın boyutları masa ayarlarındaki boyut seçeneğinden gelir: 5 ve 7 (küçük), 9 ve 12 (orta, varsayılan) ya da 14 ve 20 (büyük). Oyunu gözünüzde canlandırmanın bilinen bir yolu, yalnızca sola, aşağı ya da çapraz sol aşağı gidebilen bir satranç veziridir: iki yığın, vezirin tahtanın iki kenarına olan uzaklıklarıdır ve onu köşeye götüren kazanır.
Kural değişiklikleri
| Kural | Standart Nim | Wythoff oyunu |
|---|---|---|
| Yığınlar | Standart NimBirkaç yığın: varsayılan olarak 1, 3, 5 ve 7 nesne ya da masa ayarlarında seçilen başka bir küme. | Wythoff oyunuİki yığın: masa ayarlarında boyut olarak seçilen 5 ve 7, 9 ve 12 (varsayılan) ya da 14 ve 20. |
| Hamleler | Standart NimBir yığından bir ya da daha çok nesne alın. | Wythoff oyunuYa bir yığından bir ya da daha çok nesne alın ya da iki yığından aynı sayıda alın. |
| Hedef | Standart NimVarsayılan olarak misère oyun: son nesneyi alan kaybeder. Ayarlar, son nesneyi almanın kazandırdığı normal oyuna geçebilir. | Wythoff oyunuHer zaman normal oyun: son nesneyi alan kazanır. |
| Kazanan oyun | Standart NimYığınları nim toplamı (boyutlarının bit düzeyinde XOR'u) sıfır olacak şekilde bırakın; misère oyun sonunda küçük bir farkla. | Wythoff oyunuSırası gelen oyuncu için kaybettiren pozisyonlar 1 ve 2, 3 ve 5, 4 ve 7, 6 ve 10, 8 ve 13 gibi çiftlerdir: k'inci çift, φ altın oran olmak üzere k × φ ve k × φ² sayılarının tam kısımlarıdır. Buradaki hiçbir başlangıç pozisyonu böyle bir çift değildir, bu yüzden ilk oyuncu kazanabilir. |
Tarihçe
Hollandalı matematikçi Willem Abraham Wythoff, oyunu ve çözümünü 1907'de Nieuw Archief voor Wiskunde'de “A modification of the game of nim” makalesinde yayımladı. Kaybettiren pozisyonların altın oranı izlediğini gösterdi. Kaybettiren çiftlerin küçük ve büyük sayıları, aralarında her pozitif tam sayıyı tam bir kez listeleyen iki Beatty dizisi oluşturur; oyunun oyunlar kadar sayılar kuramı yazılarında da karşımıza çıkmasının nedeni budur.
Martin Gardner, Mart 1977'de Mathematical Games adlı dergi köşesinde oyunu yazdı ve oyunun Çin'de jiǎn shízǐ, “taş toplama” adıyla oynandığını söyledi. Bu iddia için başka bir kaynak bilmiyoruz.