3D-boter-kaas-en-eieren 4×4×4

3D-boter-kaas-en-eieren 4×4×4 wordt gespeeld in een kubus van vier lagen van 4×4 die op elkaar gestapeld zijn, 64 vakken in totaal. X begint, en de spelers markeren om beurten een leeg vak in een willekeurige laag; er is geen zwaartekracht, dus een hoger vak mag eerder bezet worden dan het vak eronder. Wie als eerste vier van zijn tekens op een rechte lijn heeft, wint. Een volle kubus zonder zo'n lijn is remise.

Een lijn kan plat in één laag liggen, als rij, kolom of diagonaal van die laag, of door alle vier de lagen lopen: recht omhoog langs een zuil, schuin omhoog langs een zijvlak van de kubus of een doorsnede ervan, of langs een van de vier grote diagonalen van een hoek van de onderste laag naar de tegenoverliggende hoek van de bovenste laag. Dat zijn samen 76 lijnen, en de lijnen zien die door de lagen heen lopen, is het grootste deel van de kunst.

De vakken zijn niet gelijkwaardig. De 8 hoeken van de kubus en de 8 vakken in het midden, de middelste vier van elk van de twee binnenste lagen, liggen elk op 7 lijnen, terwijl elk ander vak op maar 4 lijnen ligt. Die 16 vakken zijn het sterkst, en meestal vechten beide spelers daar eerst om. Je wint met een dubbele dreiging: twee lijnen die elk nog één teken nodig hebben, zodat je tegenstander er maar één kan blokkeren.

Boter-kaas-en-eieren laat zich vanzelf uitbreiden naar meer dimensies, en de kubus met zijde vier is de maat die het vaakst wordt gespeeld. De kleinere kubus van 3×3×3 geeft een zwak spel: de eerste speler wint makkelijk door het midden te nemen, en een volle kubus van 3×3×3 zonder lijn is onmogelijk, dus het kan nooit remise worden. De kubus van 4×4×4 heeft geen van beide problemen, en sets van vier doorzichtige gestapelde borden worden sinds de jaren zestig als spel verkocht.

Bij perfect spel is het spel op 4×4×4 geen remise. In 1980 publiceerde Oren Patashnik een bewijs met hulp van de computer dat de eerste speler altijd winst kan afdwingen. Victor Allis en een medeauteur bevestigden het resultaat in 1992 met proof-number search, een methode die Allis ontwikkelde om spellen op te lossen.